Funzioni Periodiche e Sviluppi in Serie di Fourier

In questa unità viene definito in modo preciso il concetto di Serie trigonometrica di Fourier.


Inizialmente (paragrafo 3.2.1) viene affrontato il problema della convergenza della serie di Fourier e viene dimostrato il Teorema secondo cui condizione sufficiente per cui la serie

$$\sum_{n\in {\bf Z}} a_n e^{inx}    ,$$ (2)

i cui coefficienti $a_n$ sono dati da

$$a_n=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{-inx} f(x) dx    ,$$ (3)

converga puntualmente a $f(x_0)$ quando $x\to x_0$ è che la funzione f(x) sia di classe $C_1$ nell'intorno di $x_0$.

Viene quindi espressa la Serie di Fourier anche nella base delle funzioni trigonometriche sin x e cos x:

$$f(x)=\frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[ A_n \cos(nx) + B_n \sin(nx) \right]$$ (4)

dove

$$A_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \cos(nx) f(x) dx$$ (5)

$$B_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \sin(nx) f(x) dx .$$ (6)

e vengono analizzati parecchi esempi.





Al termine dello studio di questo capitolo sarai dunque in grado di:

• Sviluppare in serie di trigonometrica di Fourier una qualunque funzione periodica.

Alcuni link utili per l'approfondimento di questo argomento sono:

• Fourier Series-from MathWorld
• Fourier Cosine Series-from MathWorld
• Fourier Sine Series-from MathWorl
• Fourier Series: Basic Results
• Fourier Sine and Cosine Series
• Convergence of Fourier Series
• Gibbs phenomenon
• Bessel's Inequality and Parseval's Formula
• Operations on Fourier Series
• Application to Differential Equations