Introduzione

In questa unità viene introdotta l'analisi armonica partendo dallo studio di un semplice esempio fisico quale un circuito oscillante.


Inizialmente viene ricordato come le quantità caratteristiche di un circuito oscillante obbediscono a semplici equazioni differenziali non omogenee a coefficienti costanti. Quando il termine non omogeneo è sinusiodale con periodo T anche le soluzioni delle equazioni sono, a tempi molto maggiori dei tempi caratteristici del circuito, periodiche con lo stesso periodo.

Sfruttando le proprietà di linearità degli operatori differenziali a coefficienti costanti viene mostrato come la soluzione dell'equazione differenziale in cui il termine noto è sinusiodale può essere ottenuta come sovrapposizione di soluzioni dell' equazione differenziale in cui il termine noto è un esponenziale con esponente immaginario. Le soluzioni di questo tipo sono particolarmente semplici da trovare, in quanto autofunzioni dell'operatore differenziale.

Questo semplice esempio suggerisce come la capacità di scrivere una funzione f(t) in Serie di Fourier:

$$f(t)=\sum_n V_n e^{i\omega_n t} ,$$ (1)

renda più facilmente trattabile ogni equazione differenziale che la coinvolga.